تفاوت - این چیست؟ چگونه برای پیدا کردن دیفرانسیل تابع؟

همراه با مشتقات توابع خود تفاوت - آن برخی از مفاهیم اساسی حساب دیفرانسیل، بخش اصلی از آنالیز ریاضی. به عنوان جدایی ناپذیری مرتبط، هر دو آنها چندین قرن به طور گسترده ای در حل تقریبا تمام مشکلاتی که در این دوره از فعالیت های علمی و فنی به وجود آمد استفاده می شود.

ظهور مفهوم دیفرانسیل

برای اولین بار روشن ساخته است که چنین دیفرانسیل، یکی از بنیانگذاران (همراه با Isaakom Nyutonom) حساب دیفرانسیل و معروف آلمانی ریاضیدان Gotfrid Vilgelm Leybnits. قبل از آن ریاضیدانان قرن 17. استفاده ایده بسیار نامعلوم و مبهم برخی از بینهایت "تقسیم نشده" از هر تابع شناخته شده، به نمایندگی از ارزش بسیار کوچک ثابت اما برابر با صفر نیست، که در زیر ارزش تابع نمی تواند به سادگی می شود. از این رو آن را فقط یک قدم به معرفی مفاهیم افزایش بینهایت کوچک از آرگومان های تابع و افزایش مربوطه خود را از توابع است که می تواند در شرایط مشتقات از دومی ابراز کرد. و این مرحله تقریبا به طور همزمان در بالا دو دانشمند بزرگ گرفته شده است.

بر اساس نیاز به آدرس فوری مشکلات عملی مکانیک است که مقابله با علم سرعت در حال توسعه صنعت و تکنولوژی، نیوتن و لایبنیتس راه مشترک پیدا کردن توابع از نرخ تغییر (به خصوص با توجه به سرعت مکانیکی از بدن از مسیر شناخته می شود)، که منجر به معرفی چنین مفاهیمی را به عنوان تابع مشتق و دیفرانسیل، و همچنین پیدا شده است الگوریتم معکوس راه حل مشکل به عنوان شناخته شده در هر سه (متغیر) سرعت طی برای پیدا کردن مسیر است که به مفهوم جدایی ناپذیر منجر علا.

در آثار لایبنیتس و نیوتن ایده برای اولین بار به نظر می رسد که تفاوت - متناسب با افزایش از استدلال اساسی Δh افزایش توابع Δu است که می تواند با موفقیت استفاده برای محاسبه ارزش از دومی است. به عبارت دیگر، آنها کشف کرده اند که یک تابع افزایش ممکن است در هر نقطه (در حوزه خود تعریف) باشد از طریق آن مشتق هر دو Δu = y "را (x) را Δh + αΔh که در آن α Δh بیان - باقی مانده، رسیدگی به صفر Δh → 0، بسیار سریع تر از Δh واقعی.

با توجه به بنیانگذاران تجزیه و تحلیل ریاضی، مابه التفاوت - این دقیقا همان اولین مدت در افزایش از هر گونه توابع. حتی بدون داشتن یک به روشنی تعریف توالی مفهوم حد به طور مستقیم درک است که ارزش دیفرانسیل مشتق تمایل به باشد تا در هنگام Δh → 0 - Δu / Δh → Y (X) است.

بر خلاف نیوتن، که در درجه اول یک فیزیکدان و دستگاه ریاضی به عنوان یک ابزار کمکی برای مطالعه مشکلات جسمی در نظر گرفته بود، لایبنیتس توجه بیشتری به این ابزار پرداخت می شود، از جمله یک سیستم از نمادهای بصری و قابل فهم ارزش ریاضی. او بود که پیشنهاد نت نویسی استاندارد تفاوت عملکرد DY = y "را (X) DX DX، و مشتق تابع استدلال به عنوان Y رابطه خود را (X) = DY / DX.

تعریف مدرن

دیفرانسیل در ریاضیات مدرن چیست؟ این است که نزدیک به مفهوم افزایش متغیر وابسته است. اگر متغیر y یک مقدار اول Y Y = _1، آنگاه y = Y _2، Y اختلاف ₂ ─ Y ₁ نامیده می شود مقدار y را افزایش. افزایش میتواند مثبت باشد. منفی و صفر است. کلمه "افزایش" تعیین شده است Δ، Δu ضبط (عنوان خوانده شده 'دلتا Y') نشان دهنده مقدار y افزایش است. بنابراین Δu = Y ₂ ─ Y _1.

اگر مقدار Δu تابع دلخواه Y = F (x) را ممکن است به عنوان Δu = A Δh + α که در آن A بدون وابستگی به Δh، تی است، بیان کرد. E. A = توایع برای X داده می شود، و مدت α زمانی که Δh → 0 تمایل به آن است که حتی سریع تر از Δh واقعی، پس از آن اولین ( "استاد") یک اصطلاح نسبی Δh، و برای (x) را دیفرانسیل Y = F، نشان داده می شود DY یا DF (X) (خواندن "Y د"، "د EFF از X"). بنابراین تفاوت - یک "اصلی" خطی با توجه به اجزای افزایش توابع Δh.

توضیحی مکانیکی

اجازه دهید S = از f (t) - فاصله در یک خط مستقیم در حال حرکت نقطه مواد از موقعیت اولیه (تی - زمان سفر). افزایش Δs - نقطه راه در طی فاصله زمانی Δt است و DS دیفرانسیل = F (T) Δt - این مسیر، که در آن نقطه خواهد بود برای همان زمان برگزار TD، اگر آن را حفظ سرعت F '(t) را رسیده در زمان t . هنگامی که یک DS Δt مسیر خیالی بینهایت کوچک از Δs واقعی بینهایت داشتن یک مرتبه بالاتر با توجه به Δt متفاوت است. اگر سرعت در زمان t است برابر صفر نیست، DS ارزش تقریبی می دهد نقطه بایاس کوچک است.

تفسیر هندسی

اجازه دهید خط L نمودار (X) Y = f است. سپس Δ X = MQ، Δu = QM (دیدن شکل زیر). حمایت از خطوط برق MN شکند Δu برش را به دو بخش، QN و NM. اولین و Δh است متناسب QN = MQ ∙ TG (QMN زاویه) = Δh F '(x) را، تی. E QN دیفرانسیل DY است.

بخش دوم تفاوت Δu NM'daet ─ DY، هنگامی که Δh طول → 0 NM، کاهش می یابد و حتی سریع تر افزایش از استدلال، یعنی از آن است که منظور از کوچکی بالاتر از Δh. در این مورد، اگر '(x) را ≠ 0 (مماس غیر موازی OX) بخش F QM'i QN معادل به عبارت دیگر NM، سرعت کاهش می یابد (منظور از کوچکی بالاتر آن) نسبت به افزایش کل Δu = QM. این که در شکل (بخش نزدیک M'k M NM'sostavlyaet تمام درصد QM، بخش کوچکتر) است.

بنابراین، گرافیکی دیفرانسیل تابع دلخواه به افزایش از هماهنگ مماس برابر است.

مشتق و دیفرانسیل

یک عامل در دوره اول از تابع عبارت افزایش به مقدار f مشتق شده از آن (X) برابر است. بنابراین، در بر داشت زیر ارتباط - DY = F '(x) را Δh یا DF (X) = F' (x) را Δh.

مشخص شده است که افزایش از استدلال مستقل به دیفرانسیل Δh = DX آن برابر است. بر این اساس، می توان نوشت: F '(x) را DX = DY.

پیدا کردن (گاهی اوقات گفته می شود "تصمیم") تفاوت است که با قواعد همان است که برای مشتقات انجام شده است. یک لیست از آنها در زیر آورده شده.

چه جهانی تر است: افزایش استدلال و یا دیفرانسیل آن

در اینجا از آن به برخی از توضیحات ضروری است. نمایندگی مقدار f (x) به دیفرانسیل Δh ممکن است زمانی که با توجه x را به عنوان استدلال است. اما تابع می تواند یک مجموعه، که در آن X را می توان تابعی از تی استدلال. سپس نمایندگی از بیان افتراقی F '(x) را Δh، به عنوان یک قاعده، غیر ممکن است. به جز در مورد وابستگی خطی X = در + ب.

همانطور که به فرمول F از '(x) را DX = DY، پس از آن در مورد آرگومان x مستقل (پس از آن DX = Δh) در مورد وابستگی پارامتری X T، آن دیفرانسیل است.

برای مثال عبارت 2 * Δh است برای Y = X ² دیفرانسیل آن زمانی که x یک استدلال است. ما در حال حاضر به x = T ² و t استدلال فرض کنیم. سپس Y = X ² = T ^4.

این است که با (T + Δt) ² = T ² + 2tΔt + Δt ^{2 است.} از این رو Δh = 2tΔt + Δt ^2. از این رو: 2xΔh = 2T ² (2tΔt + Δt ^2).

این عبارت است متناسب با TD، و در نتیجه در حال حاضر 2xΔh است دیفرانسیل است. می توان آن را از معادله = X ² = T ⁴ در بر ^داشت. این DY برابر = 4T ³ Δt است.

اگر ما 2xdx بیان، آن دیفرانسیل Y = X ² برای هر t استدلال است. در واقع، زمانی که x = t ² را به دست آوردن DX = 2tΔt.

بنابراین 2xdx = 2T ² 2tΔt = 4T ³ .DELTA.t، تی. E. مابه التفاوت بیان ثبت شده توسط دو متغیر متفاوت همزمان.

جایگزینی افزایش تفاوت

اگر f '(x) را ≠ 0، سپس Δu و معادل DY (زمانی که Δh → 0)؛ اگر f '(X) = 0 (معنا و DY = 0)، آنها معادل نیست.

برای مثال، اگر Y = X ^2، پس از آن Δu = (X + Δh) ² * ² = ─ 2xΔh + Δh ² و y d = 2xΔh. اگر x = 3، پس ما باید Δu = 6Δh + Δh ² و y d = 6Δh که معادل دلیل Δh ² → 0، زمانی که x = 0 دارد ارزش Δu = Δh ² و y d = 0 هستند معادل نیست.

این واقعیت، همراه با ساختار ساده دیفرانسیل (متر E. خطی با توجه به Δh)، است که اغلب در محاسبه تقریبی بر این فرض استفاده می شود، که Δu ≈ DY برای کوچک Δh. یافتن تابع دیفرانسیل است که معمولا راحت تر از به محاسبه ارزش دقیق از افزایش.

به عنوان مثال، ما باید مکعب های فلزی با لبه X = 10.00 سانتی متر است. در اثر حرارت لبه طول در Δh = 0.001 سانتی متر است. چگونه افزایش حجم مکعب V؟ ما V = X ^2، به طوری که DV = 3X ² = Δh 3 ∙ ∙ فوریه ¹⁰ 0/01 = 3 (سانتی متر ^3). افزایش ΔV دیفرانسیل معادل DV، به طوری که ΔV = 3 سانتی متر ^3. محاسبه کامل می ³ ΔV = 10،01 ─ مارس ¹⁰ = 3.003001 است. اما نتیجه از همه رقم به جز اولین غیر قابل اعتماد. بنابراین، آن را هنوز هم لازم است به دور تا 3 سانتی متر ^3.

بدیهی است، این روش مفید است تنها در صورتی ممکن است که به منظور برآورد ارزش افاضه با خطا.

عملکرد دیفرانسیل: نمونه

بیایید سعی کنید برای پیدا کردن دیفرانسیل تابع Y = X ^3، پیدا کردن مشتق شده. اجازه دهید ما به بحث افزایش Δu و تعریف کنیم.

Δu = (Δh + X) ³ ─ * ³ = 3X ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

در اینجا، ضریب A = 3X ² بر روی Δh بستگی ندارد، به طوری که اولین مدت متناسب Δh، عضو دیگر 3xΔh Δh ² + ³ است وقتی Δh → 0 کاهش سریع تر از افزایش استدلال. در نتیجه، یک عضو از 3X ² Δh دیفرانسیل از = × ³ y ^است:

DY = 3X ² Δh = 3X ² DX یا d (x ³⁾ = 3X ² DX.

در جایی که د (* ³⁾ / DX = 3X ^2.

Dy با ما در حال حاضر پیدا معادله y = 1 / x را توسط مشتق شده. سپس د (1 / x) در / DX = ─1 / * ^2. بنابراین DY = ─ Δh / * ^2.

تفاوت توابع اساسی جبری زیر داده می شود.

محاسبات تقریبی با استفاده از دیفرانسیل

برای ارزیابی تابع f (x)، و آن مشتق f را (x) را در x = a است که اغلب دشوار است، اما برای انجام همان در مجاورت x = a میباشد آسان نیست. سپس به کمک از بیان تقریبی آمده

F (A + Δh) ≈ F '(یک) Δh + F (A).

این را می دهد یک مقدار تقریبی تابع در بازه های کوچک از طریق دیفرانسیل آن Δh F '(یک) Δh.

بنابراین، این فرمول بیان تقریبی برای تابع در نقطه پایان از بخشی از طول Δh به عنوان یک مجموع از ارزش خود را در نقطه شروع از بخش (X = a) و دیفرانسیل در همان نقطه شروع. دقت روش برای تعیین مقادیر تابع در زیر نقاشی نشان می دهد.

با این حال شناخته شده و بیان دقیق برای مقدار تابع X = A + Δh داده شده توسط فرمول افزایش محدود (یا معادل آن، فرمول لاگرانژ)

F (A + Δh) ≈ F '(ξ) Δh + F (A)،

که در آن نقطه x = A + ξ از فاصله x = a تا x = a میباشد + Δh است، اگر چه موقعیت دقیق آن نامشخص است. فرمول دقیق اجازه می دهد تا به منظور بررسی خطا از فرمول تقریبی است. اگر ما در لاگرانژ فرمول ξ = Δh / 2 قرار داده است، هر چند آن را متوقف می شود دقیق است، اما می دهد، به عنوان یک قاعده، یک رویکرد بسیار بهتر از بیان اصلی از نظر دیفرانسیل.

خطای فرمول ارزیابی با استفاده از دیفرانسیل

وسایل اندازه گیری ، در اصل، نادرست، و آن را به داده های اندازه گیری مربوط به خطا. آنها با محدود کردن مشخص خطای مطلق، مثبت، به وضوح بیش از خطا در مقدار مطلق (یا حداکثر برابر با آن) - و یا، در کوتاه مدت، خطا را محدود. محدود کردن خطای نسبی است خارج قسمت به دست آمده با تقسیم آن توسط ارزش مطلق مقدار اندازه گیری شده نامیده می شود.

اجازه دهید دقیق فرمول Y = F (x) را تابع استفاده می شود به vychislyaeniya Y، اما مقدار x نتیجه اندازه گیری است، و بنابراین به ارمغان می آورد خطا y است. سپس، برای پیدا کردن محدود کردن خطای مطلق │Δu│funktsii Y، با استفاده از فرمول

│Δu│≈│dy│ = │ F '(x) را ││Δh│،

که در آن │Δh│yavlyaetsya استدلال خطا حاشیه. │Δu│ مقدار باید به سمت بالا گرد شود، به عنوان محاسبه نادرست خود را جایگزینی از افزایش در محاسبه دیفرانسیل است.