حساب دیفرانسیل از توابع یک و چند متغیر

حساب دیفرانسیل شاخه ای از تجزیه و تحلیل ریاضی که به بررسی مشتق شده، تفاوت و استفاده از آنها در مطالعه از توابع است.

داستان

حساب دیفرانسیل عنوان یک رشته مستقل در نیمه دوم قرن 17 پدید آمده است، به لطف کار از نیوتن و لایبنیتس، که مقررات اساسی در محاسبه تفاوت فرموله شده و متوجه ارتباط بین ادغام و افتراق. از آنجا که نظم و انضباط او همراه با محاسبه انتگرال توسعه یافته، در نتیجه تشکیل اساس تجزیه و تحلیل ریاضی. ظاهر از این سنگ یک دوره جدید و مدرن در جهان ریاضی را باز کرد و باعث ظهور از رشته های جدید در علم است. همچنین امکان استفاده از ریاضیات در علوم طبیعی و مهندسی افزایش یافته است.

مفاهیم اساسی

حساب دیفرانسیل بر مفاهیم اساسی ریاضیات است. آنها عبارتند از: یک عدد حقیقی، تداوم و حد تابع. پس از یک زمان، آنها یک نگاه مدرن صورت گرفته است، به لطف حساب انتگرال و دیفرانسیل.

روند ایجاد

سازند حساب دیفرانسیل در قالب یک برنامه، و پس از آن روش علمی قبل از ظهور نظریه فلسفی، که توسط نیکولای Kuzansky ایجاد شد رخ داده است. کار او در نظر گرفته می شود توسعه تکاملی از علم باستان قضاوت. با وجود این واقعیت است که فیلسوف بود خود یک ریاضیدان است، سهم خود را به توسعه علم ریاضی غیر قابل انکار است. کوسا، یکی از اولین بار از در نظر گرفتن ریاضی را به عنوان علم دقیق ترین، ریاضی قرار دادن زمان را زیر سوال.

در ریاضیدانان کهن معیار جهانی یک واحد بود، در حالی که فیلسوف پیشنهاد به عنوان یک بی نهایت اندازه گیری جدید بازگشت تعداد دقیق. در ارتباط با این نمایندگی وارونه از دقت در علم ریاضی. دانش علمی، در نظر او، به منطقی و هوشمند تقسیم شده است. دوم دقیق تر است، با توجه به دانشمند، از آنجا که تنها نتایج تقریبی می دهد از سابق است.

فکر

ایده اصلی و مفهوم حساب دیفرانسیل مرتبط با عملکرد در یک محله کوچک از نقاط خاص است. برای این کار به ایجاد یک دستگاه ریاضی به عملکرد مطالعات که رفتار در یک محله کوچک از نقطه نزدیک نصب به رفتار یک تابع خطی یا یک چند جمله ای ضروری است. بر اساس این تعریف مشتق و دیفرانسیل.

ظهور مفهوم مشتق شده توسط تعداد زیادی از مشکلات علوم طبیعی و ریاضیات، که منجر به تعیین مقادیر حد از همان نوع ایجاد می شود.

یکی از وظایف اصلی که به عنوان مثال داده شده، با قدیمی ترین کلاس های مدرسه شروع، این است که تعیین سرعت حرکت از یک نقطه در یک خط مستقیم و ساخت و ساز از خط مماس به منحنی. دیفرانسیل مرتبط به این، از آنجا که ممکن است به تقریب تابع در یک محله کوچک از نقطه یک تابع خطی.

در مقایسه با مفهوم مشتق یک تابع یک متغیر واقعی، تعریف تفاوت سادگی عبور بر عملکرد کلی، به ویژه تصویری از یک فضای اقلیدسی را به دیگری.

مشتق

اجازه دهید که حرکت نقطه در جهت محور y، برای هم ما را X، که از آغاز یک لحظه اندازه گیری شد. توصیف چنین جنبشی که با تابع y = تابع f (x) است، که به هر زمانی که نقطه x مرتبط نقطه هماهنگ displaceable امکان پذیر است. این فراخوانی تابع در مکانیک به قانون حرکت. مشخصه اصلی حرکت، به ویژه ناهموار است، سرعت لحظه. هنگامی که نقطه در امتداد محور y با توجه به قانون از مکانیک نقل مکان کرد، نقطه زمان تصادفی آن را بدست می آورد هماهنگ X تابع f (x). در زمان نقطه x + Δh، که در آن Δh نشان دهنده افزایش زمان، آن را تابع f (x + Δh) kordinaty. فرمول بنابراین تشکیل Δy = تابع f (x + Δh) - تابع f (x)، است که به نام یک تابع افزایش. این یک نقطه از مسیر در طول زمان صرف از x به x + Δh است.

در ارتباط با وقوع سرعت در مشتق زمانی تجویز شده است. مشتق هر تابع در یک نقطه ثابت به نام حد (با فرض آن وجود دارد). می توان آن را به شخصیت های خاص اشاره شده است:

F '(x) و Y، Y، DF / DX، DY / DX، DF (X).

روند محاسبه مشتق تمایز پاسخ.

حساب دیفرانسیل از توابع چند متغیر

این روش اعمال می شود در هنگام محاسبه مطالعه تابع، متغیر های متعدد. هنگامی که دو متغیر x و y، مشتق جزئی نسبت به x در نقطه A وجود دارد این است که مشتق این تابع در x با y را ثابت نامیده می شود.

ممکن است توسط علامت زیر نشان:

F '(x) را (X، Y)، U' (x) و ∂u / ∂x و ∂f (X، Y) '/ ∂x.

مهارت های مورد نیاز

به منظور موفقیت یادگیری و قادر به حل diffury مهارت های مورد نیاز در ادغام و افتراق. برای اینکه آن را آسان تر به درک معادلات دیفرانسیل، باید درک شود مشتق موضوع و نامحدود انتگرال. نیز ضرری ندارد برای یادگیری به برای مشتق تابع ضمنی است. این به خاطر این واقعیت است که در فرایند یادگیری اغلب استفاده انتگرال و تمایز.

انواع معادلات دیفرانسیل

تقریبا همه کار کنترل مرتبط با معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، 3 نوع از معادلات وجود دارد: همگن، با متغیرهای از هم جدا، خطی ناهمگن.

همچنین معادلات گونه های نادر با کل تفاوت، معادله برنولی، و دیگران وجود دارد.

راه حل اصول

برای شروع، ما باید به یاد داشته باشید معادله جبری از یک دوره مدرسه است. آنها حاوی متغیرها و اعداد. به منظور حل معادله متعارف باید مقدار زیادی از اعداد است که برآورده شرایط مشخص شده یافت. به طور معمول، این معادلات یک ریشه، و برای اعتبار سنجی تنها باید این مقدار را به محل ناشناخته جایگزین.

معادله دیفرانسیل شبیه به این است. به طور کلی، یک معادله مرتبه اول شامل:

• متغیر مستقل است.
• مشتق شده از تابع اول.
• تابع یا متغیر وابسته است.

در برخی موارد، ممکن است هیچ یک ناشناخته، x یا y وجود دارد، اما آن را به عنوان مهم نیست آن را به عنوان لازم است که مشتق اول، بدون مشتقات مرتبه بالاتر به راه حل و حساب دیفرانسیل واقعی بودند.

حل معادله دیفرانسیل - به این معنی برای پیدا کردن مجموعه ای از تمام توابع که عبارت داده شده مناسب است. چنین مجموعه ای از توابع است که اغلب به کنترل راه حل کلی نامیده می شود.

حساب انتگرال

حساب انتگرال یکی از بخش های تجزیه و تحلیل ریاضی که به بررسی مفهوم انتگرال، خواص و روش های محاسبه آن است.

اغلب محاسبه انتگرال رخ می دهد در هنگام محاسبه مساحت یک شکل منحنی. این به این معنی یک منطقه محدود، به سمت که یک منطقه از پیش تعیین شده از شکل چند ضلعی محاط با افزایش تدریجی در دست او، و سمت داده ممکن است کمتر از هر مقدار کوچک خودسرانه قبلا مشخص ساخته شده است.

ایده اصلی در محاسبه مساحت هر شکل هندسی است محاسبه مساحت یک مستطیل، پس از آن شواهدی وجود دارد که مساحت آن به کالا از طول توسط عرض برابر است. وقتی که می آید به هندسه، پس از آن همه ساخت و ساز با استفاده از یک خط کش و پرگار ساخته شده، و سپس به نسبت طول به عرض یک مقدار منطقی است. هنگام محاسبه مساحت یک مثلث راست را می توان مشخص کرد که اگر شما یک مثلث بعدی، یک مستطیل تشکیل شده است. در این منطقه از متوازی الاضلاع در یک روش مشابه است اما کمی پیچیده تر محاسبه می شود، در یک مستطیل و یک مثلث. در این منطقه از یک چند ضلعی است با استفاده از مثلثهای موجود در آن در نظر گرفته.

در تعیین رحمت خودسرانه، در این روش منحنی متناسب نیست. اگر ما آن را شکستن به مربع های فردی، آن را به مکان پر نشده باقی می ماند. در این مورد، سعی کنید به استفاده از دو کت، با مستطیل بالا و پایین، به عنوان یک نتیجه از این شامل نمودار تابع و شامل نمی شود. مهم در اینجا یک راه برای شکستن این مستطیل است. همچنین، اگر ما را به استراحت بیشتر و بیشتر کاهش می یابد، این منطقه از بالا و پایین باید در یک مقدار مشخص همگرا.

آن را باید به یک روش برای جداسازی به مستطیل بازگشت. دو روش محبوب وجود دارد.

ریمان تعریف انتگرال، ایجاد شده توسط لایبنیتس و نیوتن به رسمیت شناخته شد، به عنوان منطقه از گراف. در این مورد، ما رقمی متشکل از تعداد معینی از مستطیل عمودی به دست آمده با تقسیم فاصله در نظر گرفته. در هنگام شکستن کاهش یک محدودیت برای که منطقه کاهش چنین رقم، از این حد است که به نام انتگرال ریمان یک تابع در یک بازه زمانی مشخص وجود دارد.

روش دوم این است برای ساخت Lebesgue انتگرال، شامل در این واقعیت است که در محل جدایی منطقه تعیین شده در بخشی از انتگرال و تدوین سپس مجموع جدایی ناپذیر از مقادیر به دست آمده در این بخش، در فواصل زمانی دامنه خود را از مقادیر تقسیم، و سپس خلاصه با اقدامات مربوطه تصاویر معکوس این انتگرال.

کمک مدرن

یکی از مزایای اصلی برای مطالعه حساب دیفرانسیل و انتگرال Fikhtengol'ts نوشت - "از حساب دیفرانسیل و انتگرال." کتاب او یک ابزار اساسی برای مطالعه تجزیه و تحلیل ریاضی، که نسخه و ترجمه بسیاری از به زبان های دیگر را تحمل است. ایجاد شده برای دانش آموزان و برای یک مدت طولانی در انواع موسسات آموزشی به عنوان یکی از مزایای اصلی این مطالعه استفاده می شود. آن را می دهد اطلاعات نظری و مهارت های عملی است. برای اولین بار در 1948 منتشر شده است.

عملکرد پژوهشی الگوریتم

برای بررسی روش های عملکرد حساب دیفرانسیل و، شما باید به دنبال این است که در حال حاضر داده الگوریتم:

1. پیدا کردن دامنه از تابع.
2. پیدا کردن ریشه های معادله داده شده است.
3. محاسبه افراط و. برای انجام این کار، ما مشتق و نقطه که در آن برابر با صفر است را محاسبه کند.
4. ما مقدار به دست آمده در معادله جایگزین.

انواع معادلات دیفرانسیل

کنترل از مرتبه اول (در غیر این صورت، حساب دیفرانسیل از یک متغیر) و انواع آنها:

• با متغیرهای جدا معادله: F (y) را DY = G (x) را DX.
• ساده ترین معادله دیفرانسیل و یا تابع حساب از یک متغیر، داشتن فرمول است: y '= تابع f (x).
• خطی مرتبه اول کنترل یکنواخت است: y '+ P (X) Y = Q (x) را.
• برنولی معادله دیفرانسیل است: y '+ P (X) Y = Q (x) را Y یک.
• معادله کل تفاوت با P (X، Y) DX + Q (X، Y) DY = 0.

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و انواع آنها:

• معادله خطی همگن دوم دیفرانسیل با ^ضرایب ثابت سفارش ^{است: y N + PY '+ QY} = 0 P، Q متعلق R.
• ناهمگن خطی معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب ثابت ^{ارزش است: y N + PY '+ QY} = تابع f (x).
• خطی همگن ^معادله دیفرانسیل ^{است: y N + P (X)} y "را + Q (x) را Y = 0، و ناهمگن ^معادله مرتبه ^{دوم: Y N + P (X)} y" را + Q (x) را Y = F (X) است.

معادلات دیفرانسیل سفارشات بالاتر و انواع آنها:

• معادله دیفرانسیل، اجازه می دهد کاهش ^{سفارش: F (X، Y (K} )، Y (K + ^{1)، ...، Y (N)} = 0.
• یک معادله خطی مراتب بالاتر ^{_{همگن است: y (n) را + F (}} N- ₁₎ Y ^(N-1) + ... + F ₁ y "را + F ₀ Y = 0، و ^{_{ناهمگن است: y (n) را + F (}} N _-1) Y ^(N-1) + ... + F ₁ y "را + F ₀ Y = F (X) است.

مراحل حل مشکل با معادله دیفرانسیل

با کمک کنترل از راه دور نه تنها ریاضیات یا مشکلات جسمی، بلکه مسائل مختلف زیست شناسی، اقتصاد، جامعه شناسی و دیگران حل شده است. با وجود طیف گسترده ای از موضوعات، باید یک رشته منطق واحد برای حل این مشکلات را دنبال کنید:

1. تهیه پیشنویس کنترل. یکی از سخت ترین مراحل، که نیاز به حداکثر دقت، چرا که هر اشتباه به نتایج کاملا اشتباه منجر شود. این را به حساب تمام عوامل موثر بر فرآیند و تعیین شرایط اولیه لازم است. همچنین باید بر روی حقایق و نتیجه گیری های منطقی استوار است.
2. برای حل معادلات. این فرایند را آسان تر به نقطه اول است، از آن نیاز به تنها اجرای دقیق محاسبات ریاضی.
3. تجزیه و تحلیل و ارزیابی نتایج. راه حل مشتق باید برای نصب و راه اندازی از ارزش نظری و عملی در نتیجه ارزیابی شده است.

یک مثال از استفاده از معادلات دیفرانسیل در پزشکی

با استفاده از کنترل از راه دور در زمینه پزشکی است و در ساخت مدل ریاضی اپیدمیولوژیک پیدا شده است. ما نباید فراموش کنیم که این معادلات نیز در زیست شناسی و شیمی، که نزدیک به طب می باشد شده است، زیرا نقش مهمی مطالعه جمعیت های مختلف بیولوژیکی و فرآیندهای شیمیایی در بدن انسان ایفا می کند.

در این مثال، گسترش اپیدمی عفونت می تواند در جامعه جدا شده درمان می شود. ساکنان به سه نوع تقسیم می شوند:

• آلوده، تعداد X (t) را، که شامل افراد، حامل های عفونی، که هر کدام عفونی است (دوره کمون کوتاه است).
• نوع دوم شامل افراد حساس Y (t) را می توان از طریق تماس با آلوده آلوده شده است.
• نوع سوم شامل افراد مقاوم به درمان Z (t) را، که ایمنی و یا از دست داده به دلیل بیماری هستند.

تعدادی از افراد به طور مداوم، حفظ تولد، مرگ و میر طبیعی و مهاجرت در نظر گرفته شده است. در هسته می شود دو فرضیه.

بیماری درصد در برخی از نقطه هم به x (t) به مقدار y (t) را (فرض بر اساس این نظریه که تعداد موارد نسبت به تعداد تقاطع بین بیماران و اعضای پاسخگو، که در تقریب اول متناسب با x است (T) Y (t) را)، در برابر است بنابراین تعداد موارد در حال افزایش است، و تعداد کاهش می یابد حساس در یک نرخ است که توسط تبر فرمول (T) Y (t) را محاسبه (> 0).

تعدادی از حیوانات غیر پاسخگو که فوت کرد و یا ایمنی اکتسابی، در سرعت است که متناسب با تعداد موارد، BX (T) (B> 0) افزایش یافته است.

در نتیجه، شما می توانید با هر سه شاخص بر اساس نتیجه گیری خود را راه اندازی یک سیستم معادلات.

اقتصاد به عنوان مثال استفاده

حساب دیفرانسیل است که اغلب در تجزیه و تحلیل اقتصادی استفاده می شود. وظیفه اصلی در تجزیه و تحلیل اقتصادی در نظر گرفته می شود مطالعه ارزش های اقتصاد، که در قالب تابع ثبت شده است. این است که در حل مشکلات از قبیل تغییر در افزایش مالیات بر درآمد بلافاصله پس از، هزینه های ورود، تغییر در درآمد در هنگام تغییر ارزش محصول، در چه نسبت می تواند توسط کارکنان بازنشسته با تجهیزات جدید جایگزین استفاده می شود. برای حل چنین مشکلاتی، لازم است برای ساختن یک تابع ارتباطات از متغیرهای ورودی، که، پس از حساب دیفرانسیل مطالعه قرار گرفت.

آن است که اغلب لازم برای پیدا کردن عملکرد مطلوب ترین در عرصه اقتصادی: به حداکثر بهره وری، بالاترین درآمد، کمترین هزینه و غیره. هر یک از این مولفه تابعی از یک یا چند آرگومان است. به عنوان مثال، تولید را می توان به عنوان تابعی از نیروی کار و سرمایه در نظر گرفته. در این ارتباط، پیدا کردن یک مقدار مناسب را می توان به پیدا کردن حداکثر یا حداقل از یک تابع از یک یا چند متغیر کاهش می یابد.

چنین مشکلاتی را ایجاد یک کلاس از مشکلات extremal در زمینه های اقتصادی، که برای آن شما نیاز حساب دیفرانسیل. هنگامی که شاخص های اقتصادی مورد نیاز است برای به حداقل رساندن و یا حداکثر رساندن به عنوان تابعی از پارامترهای دیگر، نسبت افزایش عملکرد نقطه حداکثر به استدلال به صفر خواهد شد تمایل اگر افزایش استدلال سمت صفر است. در غیر این صورت، هنگامی که چنین نگرشی تمایل به مقدار مثبت یا منفی خاص، نقطه مشخص شده است مناسب نیست، زیرا با افزایش یا کاهش این استدلال می توان به ارزش وابسته در جهت مورد نظر تغییر کرده است. در اصطلاح حساب دیفرانسیل، این بدان معنی است که شرایط مورد نیاز برای حداکثر تابع مقدار صفر از مشتق شده از آن است.

اقتصاد است مشکل غیر معمول از پیدا کردن حد اکثر یک تابع چند متغیر نیست، چرا که شاخص های اقتصادی هستند تا از بسیاری از عوامل ساخته شده است. این مسائل به خوبی در نظریه توابع چند متغیر، روش های محاسبه دیفرانسیل قابل درک باشد. چنین مشکلاتی نه تنها شامل محدودیت حداکثر و حداقل برسد عملکرد، بلکه. این سوالات مربوط به برنامه ریزی ریاضی، و آنها را با کمک روش به خصوص توسعه نیز در این شاخه از علم بر اساس حل شده است.

در میان روش های حساب دیفرانسیل استفاده در اقتصاد، بخش مهمی آزمون نهایی است. در حوزه اقتصادی، اصطلاح اشاره دارد به مجموعه ای از روش تحقیق از عملکرد متغیر و نتایج، زمانی که شما در حجم ایجاد، مصرف تغییر، بر اساس تجزیه و تحلیل ارزش حد خود است. محدود کردن نشانه در نظر گرفته مشتق شده و یا مشتق جزئی با چند متغیر.

حساب دیفرانسیل از چند متغیر - یک موضوع مهم از آنالیز ریاضی. برای مطالعه دقیق، شما می توانید انواع کمک آموزشی برای موسسات آموزش عالی استفاده کنید. یکی از Fikhtengol'ts ایجاد معروف ترین - "از حساب دیفرانسیل و انتگرال." چه مقدار از نام برای حل معادلات دیفرانسیل از اهمیت قابل توجهی به مهارت های لازم برای کار با انتگرال. هنگامی که یک حساب دیفرانسیل از توابع یک متغیر وجود دارد، تصمیم آسانتر می شود. اگر چه، آن لازم به ذکر است، آن را دنبال قوانین اساسی همان. در عمل، به منظور بررسی عملکرد حساب دیفرانسیل، فقط الگوریتم در حال حاضر موجود است، که در دبیرستان داده می شود، و تنها کمی پیچیده با معرفی متغیرهای جدید دنبال کنید.