خطی و معادلات دیفرانسیل همگن از مرتبه اول. نمونه هایی از راه حل

من فکر می کنم ما باید با تاریخ ابزار ریاضی با شکوه به عنوان معادلات دیفرانسیل شروع می شود. مثل همه حساب دیفرانسیل و انتگرال، این معادلات توسط نیوتن در اواخر قرن 17 ابداع شدند. او اعتقاد بر این کشف خود را آنقدر مهم است که حتی پیام رمز شده، که امروز می توان به عنوان ترجمه زیر بود: «همه قوانین طبیعت شرح داده شده توسط معادلات دیفرانسیل" ممکن است اغراق به نظر می رسد، اما این درست است. هر قانون فیزیک، شیمی، زیست شناسی، می توان با این معادلات است.

سهم عظیمی به توسعه و ایجاد نظریه معادلات دیفرانسیل اند ریاضیات اویلر و لاگرانژ. حال حاضر در قرن 18 آنها کشف کردند و آنچه را که در حال حاضر در دوره های ارشد دانشگاه مشغول به تحصیل.

نقطه عطف جدیدی را در مطالعه معادلات دیفرانسیل به لطف از Anri Puankare آغاز شد. علم فضا و خواص آن - او یک «نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل"، که، همراه با تئوری توابع متغیرهای مختلط به طور قابل توجهی به پایه و اساس توپولوژی کمک ایجاد شده است.

معادلات دیفرانسیل چیست؟

بسیاری از مردم ترس از عبارت "معادله دیفرانسیل". با این حال، در این مقاله ما به مجموعه ای از در جزئیات، ماهیت این ابزار بسیار مفید ریاضی است که در واقع به عنوان پیچیده آن از عنوان نظر می رسد نیست. به منظور شروع به صحبت در مورد یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول، شما باید اول با مفاهیم اساسی که ذاتا با این تعریف مرتبط آشنا می شود. و ما را با دیفرانسیل شروع می شود.

دیفرانسیل

بسیاری از مردم این مدت از زمان دبیرستان مطمئن شوید. با این حال، هنوز هم در آن ساکن در جزئیات. تصور کنید که نمودار تابع. ما می توانیم آن را به حدی است که هر یک از بخش آن یک خط مستقیم می شود افزایش می دهد. این دو نقطه که بی نهایت به یکدیگر نزدیک هستند را می گیرم. تفاوت بین مختصات خود را (x یا y) بینهایت کوچک است. و آن را به نام دیفرانسیل و شخصیت های تعیین DY (دیفرانسیل y) و DX (دیفرانسیل از x). این مهم است که به درک که دیفرانسیل است که ارزش نهایی نیست، و این معنا و تابع اصلی است.

و در حال حاضر شما باید عناصر زیر، که ما نیاز به توضیح مفهوم معادله دیفرانسیل در نظر بگیرید. این - مشتق شده.

مشتق

همه ما باید در مدرسه و این مفهوم شنیده می شود. آنها می گویند که مشتق - نرخ رشد یا کاهش عملکرد است. اما این تعریف گیج کننده تر می شود. بیایید سعی کنید به توضیح شرایط مشتق شده از تفاوت. بیایید به بازگشت به تابع فاصله بینهایت کوچک با دو نقطه، که در فاصله حداقل از یکدیگر واقع شده است. اما حتی فراتر از این تابع فاصله زمان برای تغییر به برخی از ارزش است. و برای توصیف که تغییر و آمده تا با یک مشتق شده است که در غیر این صورت به عنوان نسبت مابهالتفاوت نوشته شود: تابع f (x) '= df و / DX.

در حال حاضر آن به در نظر گرفتن خواص اولیه مشتق ضروری است. تنها سه وجود دارد:

1. مجموع مشتق شده و یا تفاوت را می توان به عنوان مجموع و یا تفاوت از مشتقات نمایندگی: (A + B) '= یک' + b 'و (AB)' = a'-B.
2. اموال دوم با ضرب متصل می شود. - آثار مشتق شده از مجموع آثار یک تابع برای مشتق است از: (الف * ب) '= یک' * B + A * B '.
3. مشتق تفاوت را می توان به عنوان معادله زیر نوشته شده است: (A / B) '= (یک' * BA * B ') / ب ^2.

همه این ویژگی ها در دستی برای پیدا کردن راه حل برای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول آمده است.

همچنین، مشتقات جزئی وجود دارد. فرض کنید ما یک تابع از Z، که بستگی به متغیرهای x و y. برای محاسبه مشتق جزئی از این تابع، برای مثال، در x، ما نیاز به گرفتن Y متغیر به ثابت و آسان به افتراق.

انتگرال

مفهوم مهم دیگر - انتگرال. در واقع آن را در مقابل مشتق است. انتگرال انواع مختلفی هستند، اما ساده ترین راه حل های معادلات دیفرانسیل، ما نیاز به بی اهمیت ترین انتگرال نامعین.

بنابراین، چه جدایی ناپذیر است؟ بیایید می گویند ما برخی از رابطه f از x است. ما از آن را انتگرال و به دست آوردن F تابع (x) را (آن است که اغلب به عنوان یک بدوی نامیده می شود)، که یک مشتق تابع اصلی است. بنابراین F (X) = F (X) است. این همچنین نشان میدهد که انتگرال مشتق به تابع اصلی برابر است.

در حل معادلات دیفرانسیل بسیار مهم است که به درک معنا و نقش انتگرال، از اغلب باید آنها را به پیدا کردن راه حل.

معادلات بسته به طبیعت آنها متفاوت است. در بخش بعدی ما در انواع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نگاه کنید، و پس از آن یاد بگیرند که چگونه به آنها را حل کند.

کلاس معادلات دیفرانسیل

"Diffury" تقسیم بر سفارش از مشتقات درگیر در آنها است. در نتیجه یک مرتبه اول، دوم، سوم یا بیشتر وجود دارد. معمولی و جزئی: آنها همچنین می توانند به چند کلاس تقسیم می شود.

در این مقاله، ما را به معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول در نظر بگیرید. مثال ها و راه حل های ما در بخش های زیر مورد بحث است. ما در نظر گرفتن تنها TAC دلیل آن است که شایع ترین نوع از معادلات است. معمولی به گونه تقسیم: با متغیرهای از هم جدا، همگن و ناهمگن. بعد شما خواهد آموخت که چگونه آنها را از یکدیگر متفاوت است، و یاد بگیرند که چگونه به آنها را حل کند.

علاوه بر این، این معادلات می تواند در ترکیب، به طوری که بعد از ما یک سیستم معادلات دیفرانسیل از مرتبه اول دریافت کنید. چنین سیستم، ما نیز در نگاه و یاد بگیرند که چگونه به حل کند.

چرا ما با توجه به تنها مرتبه اول؟ از آنجا که لازم است که با یک ساده شروع و توصیف همه مرتبط با معادلات دیفرانسیل، در یک مقاله غیر ممکن است.

معادلات با متغیرهای جدا

این شاید معادلات ساده ترین مرتبه اول دیفرانسیل. Y '= تابع f (x) * F (Y): این نمونه است که می تواند به عنوان نوشته شده است. برای حل این معادله ما نیاز به فرمول نمایندگی از مشتق به عنوان نسبت از تفاوت است: y '= DY / DX. DY / DX = تابع f (x) * F (y) را: با آن که ما از معادله به دست آورد. در بخش جلو تمام Y متغیر در بخشی که در آن است DY وجود دارد جدا متغیرها، یعنی سریع، و همچنین متغیر x را ...: در حال حاضر ما می توانیم به روش حل نمونه استاندارد تبدیل DY / F (Y) = F (x) را DX، که با در نظر گرفتن انتگرال از دو بخش به دست آورد: ما یک معادله از فرم به دست آورد. آیا در مورد ثابت را فراموش نکنید که شما می خواهید پس از ادغام برای قرار دادن.

راه حل از هر گونه "diffura" - تابعی از x با y (در مورد ما) است، و یا اگر یک بیماری عددی وجود دارد، پاسخ یک عدد است. اجازه دهید ما به عنوان مثال بتن دوره کامل تصمیم را بررسی کنیم:

Y '= 2y می * گناه (x)

انتقال متغیرها در جهات مختلف:

DY / Y = 2 * گناه (x) DX

در حال حاضر انتگرال است. همه آنها را می توان در یک جدول خاص انتگرال پیدا شده است. و ما را دریافت کنید:

LN (Y) = -2 * چون (X) + C

در صورت نیاز، ما می توانیم "Y" به عنوان تابعی از "X" را بیان کنند. حالا می توان گفت که معادله دیفرانسیل ما حل شده است، اگر شرایط مشخص نشده است. می توان شرایط مشخص، برای مثال، Y (n / 2 است) = E. سپس ما به سادگی مقدار این متغیرها در تصمیم گیری خواهد جایگزین و پیدا کردن مقدار ثابت. در مثال ما، آن 1 است.

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول همگن

در حال حاضر به قطعات پیچیده تر است. Y '= Z (X، Y): معادلات دیفرانسیل مرتبه اول همگن را می توان در شکل کلی به عنوان نوشته شده است. لازم به ذکر است که تابع حق از دو متغیر یکنواخت است، و می توان آن را به دو بسته به تقسیم می شوند: الف x و z و y. بررسی کنید که آیا معادله همگن است یا نه، کاملا ساده است: ما را به جایگزینی X = K * x و y = K * y است. در حال حاضر ما قطع تمام k. اگر این نامه ها کاهش یافته است، آنگاه معادله همگن و می توانید با خیال راحت به راه حل آن را ادامه دهید. با نگاه به آینده، ما می گویند: اصل راه حل از این نمونه نیز بسیار ساده است.

ما نیاز به جایگزینی: Y = T (X) * X، جایی که تی - یک تابع است که در X نیز بستگی دارد. Y '= T (X) * X + T: پس ما می توانیم مشتق را بیان کنند. جایگزینی این همه را به معادله اصلی و ساده آن، ما باید به عنوان مثال از جداسازی متغیرها تی به عنوان X است. حل آن و به دست آوردن وابستگی T (X). هنگامی که ما آن را کردم، به سادگی قبلی تعویض Y = ما (X) * X جایگزین. سپس ما وابستگی Y به X به دست آورد.

برای اینکه آن را واضح تر، ما باید یک عنوان مثال درک: X * Y '= YX * E Y / x است.

زمانی که می خواهید جایگزینی از همه به کاهش است. بنابراین، معادله واقعا همگن است. حالا جانشینی دیگری را، ما در مورد صحبت کرد: Y = (X) * x و y '= T (X) * X + T (X). پس از ساده سازی معادله زیر: T '(x) را * X = -e تی. ما تصمیم به گرفتن یک نمونه با متغیرهای مجزا و ^{ما: ایمیل -t = LN (C *} X) است. ما فقط نیاز به جایگزین تی توسط Y / X (چرا که اگر Y = * X، سپس t = Y / X)، و ما ^پاسخ دریافت ^{کنید: ایمیل -y / X = LN (} X * C).

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول

آن زمان به نظر یکی دیگر از موضوع گسترده ای است. ما معادلات دیفرانسیل مرتبه اول ناهمگن است. چگونه می توانم آنها از دو مورد قبلی متفاوت است؟ بیایید آن روبرو هستند. معادلات دیفرانسیل برای اولین بار سفارش به خطی در شکل کلی معادله می توان در نتیجه نوشته شده است: y '+ G (X) * y = z را (X). باید آن را روشن است که z (x) و g (x) را ممکن است مقادیر ثابت.

- Y * x = y بر ': در اینجا یک مثال X ^2.

دو راه برای حل وجود دارد، و ما را سفارش به ما اطلاع دهید هر دو آنها را بررسی کند. اولین - روش تنوع ثابت دلخواه.

حل معادله در این روش، لازم است برای برابر اولین سمت راست به صفر، و حل معادله حاصل که پس از انتقال از قطعات می شود:

Y '= Y * X؛

DY / DX = y می * X؛

DY / Y = XDX؛

LN | Y | X = ^2/2 + C؛

Y = E ^{X2 / 2} * ^C Y = C ₁ * E ^{X2 / 2.}

در حال حاضر آن را به جای ثابت C ₁ در تابع V (x) را، که ما را پیدا خواهد کرد لازم است.

Y = V * E ^{X2 / 2.}

رسم مشتق جایگزین:

^{Y '= V * E X2} / ² -x * V * E ^{X2 / 2.}

و جانشین این عبارت را در معادله اصلی:

V '* E ^{X2 / 2} - * V * E ^{X2 / 2} + X * V * E ^{X2 / 2} = X ^2.

شما می توانید ببینید که در سمت چپ این دو واژه کاهش می یابد. اگر برخی از مثال این اتفاق نمی افتد، پس شما چیزی را اشتباه انجام داده اند. ما برای ادامه

V '* E ^{X2 / 2} = X ^2.

در حال حاضر ما حل معادله معمول که در آن شما می خواهید برای جدا کردن متغیر:

DV / DX = × ^{2 /} E ^X2 / ^2؛

DV = X ² * الکترونیک ^{- X2 / 2} DX.

برای حذف انتگرال، ما باید به درخواست ادغام توسط قطعات در اینجا. با این حال، این است که موضوع این مقاله نیست. اگر شما علاقه مند هستید، می توانید خود به خود به انجام چنین اقدامات یاد بگیرند. دشوار است، و با مهارت و مراقبت کافی است وقت گیر است.

با اشاره به روش دوم حل معادلات ناهمگن: روش برنولی. چه روش این است سریع تر و راحت - آن را تا به شما.

بنابراین، هنگامی که حل این روش، ما نیاز به ایجاد جایگزینی است: y = K * n است. در اینجا، K و N - برخی از توابع وابسته به x. پس یک مشتق را شبیه: Y '= K' * N + K * N '. دو تعویض جایگزین در معادله:

K '* N + K * N ' + X * K * N = X ^2.

گروه تا:

K '* N + K * ( N' + X * N) = X ^2.

حالا لازم است برای برابر با صفر است، این است که در پرانتز. در حال حاضر، اگر شما ترکیب دو معادله حاصل، ما به دست آوردن یک سیستم معادلات دیفرانسیل مرتبه اول که باید حل شود:

ñ '+ X * N = 0؛

* K 'ñ = X ^2.

اولین برابری تصمیم بگیرید که چگونه معادله معمول است. برای این کار، شما نیاز به جدا متغیرهای:

DN / DX = X * V؛

DN / N = XDX.

ما را به انتگرال و به دست آوریم: LN (N) = X ^2/2. سپس، اگر ما ابراز N:

نفر الکترونیکی ^{X2 / 2.}

حالا معادله بدست آمده را در معادله دوم جایگزین:

K '* E ^{X2 / 2} = X ^2.

و تبدیل، ما معادله همان به دست آوردن عنوان در روش اول:

DK = × ^{2 /} E ^X2 / ^2.

ما همچنین اقدامات بیشتر مورد بحث نیست. گفته شده است که در معادلات دیفرانسیل مرتبه اول اولین راه حل باعث مشکلات قابل توجه است. با این حال، غوطه وری عمیق تر به موضوع، شروع به گرفتن بهتر و بهتر.

معادلات دیفرانسیل کجا هستند؟

معادلات دیفرانسیل بسیار فعال مورد استفاده در فیزیک، به عنوان تقریبا همه قوانین اساسی در شکل دیفرانسیل نوشته شده است، و کسانی که فرمول ها، که ما می بینیم - یک راه حل برای این معادلات. در شیمی، آنها به همین دلیل استفاده می شود: قوانین اساسی از طریق آنها مشتق شده است. در زیست شناسی، معادلات دیفرانسیل استفاده می شود برای مدلسازی رفتار سیستم، مانند درنده - طعمه. آنها همچنین می توانند مورد استفاده قرار گیرد برای ایجاد مدل های تولید مثل، به عنوان مثال، مستعمرات از میکروارگانیسم ها.

به عنوان معادلات دیفرانسیل در زندگی کمک کند؟

پاسخ به این سوال ساده است: هیچ چیز. اگر شما یک دانشمند یا مهندس نیست، بعید است که آنها مفید باشد. با این حال، صدمه دیده، نه آن چه دانم معادله دیفرانسیل و آن را برای توسعه کلی حل شده است. و سپس این سوال را از یک پسر یا دختر، "چه یک معادله دیفرانسیل؟" به نظر شما در یک بن بست قرار داده است. خوب، اگر شما یک دانشمند یا مهندس، و سپس شما می دانیم که اهمیت این موضوع در هر علم است. اما مهمتر از همه، که در حال حاضر به این سوال "چگونه به حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول؟" شما همیشه قادر به دادن پاسخ خواهد بود. توافق، آن است که همیشه خوب زمانی که شما متوجه است که آنچه مردم حتی ترس برای پیدا کردن.

مشکلات اصلی در این مطالعه

مشکل اصلی در درک این موضوع یک عادت بد ادغام و افتراق توابع است. اگر شما ناراحت کننده فرض مشتق و انتگرال، آن است که احتمالا به ارزش بیشتر برای یادگیری، به یادگیری روش های مختلف ادغام و افتراق، و تنها پس از مطالعه مواد است که در این مقاله شرح داده شده است ادامه دهید.

برخی از افراد جالب است که DX را می توان منتقل هستند، همان طور که قبلا (در مدرسه) استدلال کرد که کسری DY / DX ناپذیر است. سپس شما نیاز به خواندن ادبیات در مشتق و درک آن است که نگرش مقدار بی نهایت کوچک، که می تواند در حل معادلات دستکاری است.

بسیاری از مردم بلافاصله متوجه است که راه حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول - این است که اغلب یک تابع و یا neberuschiysya انتگرال، و این توهم آنها را می دهد بسیاری از مشکلات.

چه چیز دیگری می تواند مورد مطالعه قرار برای درک بهتر؟

بهترین کار این است که شروع به غوطه وری بیشتر به دنیای حساب دیفرانسیل از کتاب های درسی تخصصی، برای مثال، در تجزیه و تحلیل ریاضی برای دانش آموزان از تخصص غیر ریاضی. بعد از آن شما می توانید به ادبیات تخصصی تر حرکت می کند.

گفته شده است که، علاوه بر دیفرانسیل، هنوز هم معادلات انتگرال وجود دارد، بنابراین شما همیشه چیزی به تلاش برای و چه به مطالعه خواهد شد.

نتیجه

ما امیدواریم که که پس از خواندن این مقاله شما یک ایده از آنچه معادلات دیفرانسیل و چگونه آنها را حل کند به درستی دارند.

در هر صورت، ریاضیات به هیچ وجه به ما مفید در زندگی است. این توسعه منطق و توجه، که بدون آن هر انسان، به عنوان بدون دست.