یک سیستم معادلات جبری خطی. سیستم همگن معادلات جبری خطی

در مدرسه، هر یک از ما معادله مورد مطالعه و، قطعا، سیستم معادلات. اما بسیاری از مردم می دانند که راه های مختلفی برای آنها حل وجود دارد. امروز ما خواهد بود دقیقا تمام روش برای حل دستگاه معادلات جبری خطی، که از بیش از دو معادله تشکیل شده را مشاهده کنید.

داستان

امروزه می دانیم که هنر حل معادلات و سیستم خود را در بابل باستان و مصر سرچشمه گرفته است. با این حال، برابری در صورت آشنا خود را به ما پس از وقوع از علامت مساوی "="، که در سال 1556 توسط ریاضیدان انگلیسی رکورد معرفی شد ظاهر شد. به هر حال، این نماد به یک دلیل انتخاب شد: به این معنی دو قسمت مساوی موازی. در واقع، بهترین مثال از برابری نمی آیند تا.

بنیانگذار حروف مدرن و نمادهای حد ناشناخته، ریاضیدان فرانسوی Fransua ویتنام. با این حال، طراحی های آن قابل توجهی متفاوت از امروز است. برای مثال، یک مربع از تعداد نامعلومی او با حرف Q (. عرض "مربع")، و مکعب تعیین شده - (. عرض "CUBUS") حرف C. این علامت در حال حاضر به نظر می رسد ناراحت کننده، اما پس از آن راه بصری ترین ارسال یک سیستم معادلات جبری خطی است.

با این حال، یک نقطه ضعف در روش غالب راه حل بود که ریاضیدانان تنها ریشه مثبت در نظر گرفته شده است. شاید این است که با توجه به این واقعیت است که مقادیر منفی هیچ کاربرد عملی ندارد. یک راه یا دیگری، اما اولین نظر گرفته شود ریشه های منفی پس از ریاضیات ایتالیایی نیکولو تارتالیا، جرلامو کاردانو و رافائل Bombelli در قرن 16 آغاز شد. نگاهی مدرن، روش اصلی حل معادلات درجه دوم (از طریق تفکیک) تنها در قرن 17 از طریق آثار دکارت و نیوتن تاسیس شد.

در وسط ریاضیدان سوئیسی قرن 18 گابریل Cramer یک راه جدید برای ایجاد راه حل سیستم معادلات خطی ساده تر شده است. این روش بعد از او نام برده شد، و به این روز ما آن را استفاده کنید. اما در روش بحث کرامر کمی بعد، اما در حال حاضر ما معادلات خطی و راه حل های خود به طور جداگانه از سیستم مورد بحث است.

معادلات خطی

معادلات خطی - ساده ترین معادله با متغیر (ها). آنها به جبری تعلق دارند. معادلات خطی نوشته شده است در شکل کلی شرح زیر است: ₁ * * ₁ + _{2 *} × ₂ + ... و _n * X _N = ب. ارسال مقاله از این فرم ما را در تهیه سیستم های نیاز و ماتریس است.

یک سیستم معادلات جبری خطی

تعریف این عبارت است: مجموعه ای از معادلات که ناشناخته مشترک و راه حل کلی. به طور معمول، در مدرسه یک سیستم با دو یا حتی سه معادله حل شده است. اما سیستم با چهار یا بیشتر قطعات وجود دارد. اجازه دهید ابتدا ببینید که چگونه به آنها را بنویسید به طوری که بعد از آن مناسب برای حل بود. در مرحله اول، سیستم های معادلات جبری خطی بهتر خواهد شد اگر همه متغیرها به عنوان x با شاخص مربوطه نوشته شده است: 1،2،3 و غیره. دوم، آن را باید تمام معادلات به فرم استاندارد منجر شود: ₁ * * ₁ + _{2 *} × ₂ + ... و _n * X _N = ب.

پس از همه این مراحل، ما می توانیم شروع به شما بگویم چگونه برای پیدا کردن راه حل سیستم معادلات خطی. خیلی که در ماتریس مفید آمده است.

ماتریس

ماتریس - یک جدول که شامل سطر و ستون، و عناصر آن در تقاطع خود هستند. این می تواند یک مقدار خاص یا متغیر. در اغلب موارد، برای تعیین عناصر هستند که در زیر نویس (به عنوان مثال، یک ₁₁ یا ₂₃ خوب) مرتب شده اند. شاخص برای اولین بار نشان می دهد تعداد ردیف، و دوم - ستون. ماتریس بالا همانطور که در بالا و هر عنصر ریاضی دیگر را می توانید عملیات های مختلف را انجام دهد. بنابراین، شما می توانید:

1) تفریق و اضافه کردن به همان اندازه از جدول.

2) ضرب ماتریس به هر تعداد و یا بردار.

3) و: تبدیل خطوط ماتریس در ستون ها و ستون ها - در خط.

4) ضرب ماتریس، اگر تعداد ردیف به یکی از آنها شماره های مختلف از ستون برابر است.

به بحث در جزئیات همه این تکنیک، به عنوان آنها در آینده به ما مفید هستند. تفریق و علاوه بر ماتریس بسیار ساده است. از آنجا که ما را به ماتریس همان اندازه، هر عنصر از یک جدول مربوط به هر عنصر دیگر است. بنابراین ما اضافه کنید (تفریق) دو تا از این عناصر (این مهم است که آنها بر روی زمین همان ایستاده در ماتریس بودند). هنگامی که توسط تعدادی از ماتریس یا بردار ضرب شما به سادگی ضرب هر عنصر از ماتریس که تعداد (یا بردار). تقدم و تاخر - یک فرایند بسیار جالب است. بسیار جالب گاهی اوقات به دیدن او در زندگی واقعی، برای مثال، در هنگام تغییر جهت یک قرص و یا تلفن. آیکون بر روی دسکتاپ یک ماتریس است، و با تغییر موقعیت، آن منتقل شده است و گسترده تر می شود، اما کاهش در ارتفاع.

اجازه دهید ما بیشتر یک فرایند مانند بررسی ضرب ماتریس. اگر چه او به ما گفت، و مفید نیست، اما آگاه باشید آن است که هنوز مفید باشد. ضرب دو ماتریس می تواند تنها تحت شرایط است که تعداد ستون در یک جدول به تعداد ردیف دیگر برابر است. حالا عناصر یک خط ماتریس ها و سایر عناصر ستون مربوطه است. ضرب آنها را به هر مبلغ دیگر و سپس (: A * B _{11 12} + ₁₂ * b و ₂₂ به عنوان مثال، برای مثال، یک محصول از عناصر ₁₁ و ₁₂ و ₁₂ ب و ₂₂ ب خواهد به برابر _باشد). بنابراین، یک آیتم جدول تک، و یک روش شبیه به آن است که بیشتر پر شده است.

حالا ما می توانیم شروع به در نظر چگونه به حل سیستم معادلات خطی.

گوس

این موضوع شروع به اتفاق در مدرسه. ما به خوبی می دانیم که مفهوم "سیستم از دو معادلات خطی" و می دانم که چگونه به آنها را حل کند. اما اگر تعداد معادلات بیشتر از دو است. این به ما کمک خواهد کرد که روش گاوس.

البته، این روش مناسب است برای استفاده، اگر شما را به یک ماتریس از سیستم. اما شما می توانید آن را تبدیل کند و تصمیم گیری در خود را دارد.

بنابراین، چگونه به حل آن توسط یک سیستم معادلات خطی گاوس؟ به هر حال، حتی اگر این روش و به نام بعد از او، اما در دوران باستان را کشف کردند. گاوس است عملیاتی که با معادلات انجام شده، که در نهایت در کلیت به شکل پلکانی است. این است که، شما را به بالا به پایین (اگر به درستی قرار می دهد) از اول تا آخر معادله نیاز رو به افول نهاد یک ناشناخته است. به عبارت دیگر، ما نیاز به مطمئن شوید که ما داریم، می گویند، سه معادله: اول - سه مجهول، در دوم - دو در یک سوم - یک. سپس، از آخرین معادله، پیدا کنیم و ناشناخته اول، جایگزین ارزش خود را در دوم یا معادله اول، و بیشتر پیدا کردن دو متغیر باقی مانده است.

قاعده کرامر

برای توسعه این روش بسیار حیاتی است به کارشناسی کارشناسی ارشد مهارت از جمع، تفریق ماتریس، و همچنین به عنوان نیاز به قادر به پیدا کردن عوامل. بنابراین، اگر شما ناراحت کننده انجام این کار تمام و یا نمی دانید که چگونه، لازم است به یاد می گیرند و آموزش داده می شود است.

جوهر این روش چیست، و چگونه به انجام این کار، به یک دستگاه معادلات خطی کرامر؟ این بسیار ساده است. ما نیاز به ساخت یک ماتریس از اعداد (تقریبا همیشه) ضرایب یک سیستم معادلات جبری خطی. برای انجام این کار، به سادگی تعداد از ناشناخته ها را، و ما یک جدول را به ترتیب در نظم است که آنها در سیستم ثبت شده است. اگر قبل از شماره یک نشانه است "-"، پس ما ارسال ضریب منفی. بنابراین، ما ساخته شده ماتریس اول ضرایب مجهول، از جمله تعدادی بعد از علامت مساوی نیست (البته، که معادله تا به به فرم استاندارد کاهش می یابد که حق فقط یک عدد، و سمت چپ است - همه مجهول با ضرایب). سپس شما نیاز به چند ماتریس - یکی برای هر متغیر. برای این منظور، در ماتریس اولین بار توسط یک ستون بعد از علامت مساوی جایگزین هر یک از اعداد ستون با ضرایب. بنابراین ما چند ماتریس و پس از آن عوامل خود را پیدا کنید.

پس از ما مسابقات مقدماتی یافت، آن را کوچک است. ما یک ماتریس اولیه، و چندین ماتریس مشتق شده است، که به متغیرهای مختلف مطابقت وجود دارد. برای دریافت یک راه حل سیستم، ما تقسیم تعیین کننده در جدول به دست آمده در مورد تعیین اولیه از جدول. در نتیجه تعداد ارزش یک متغیر است. به طور مشابه، ما پیدا کردن همه ناشناختهها.

روش های دیگر

چندین روش برای به دست آوردن راه حل سیستم معادلات خطی وجود دارد. برای مثال، یک روش به اصطلاح گاوس و اردن، که برای پیدا کردن راه حل سیستم معادلات درجه دوم استفاده می شود، و همچنین مربوط به استفاده از ماتریس. نیز یک روش ژاکوبی برای حل دستگاه معادلات جبری خطی وجود دارد. او به راحتی به تمام کامپیوتر سازگار است و در محاسبات استفاده می شود.

موارد پیچیده

پیچیدگی معمولا رخ می دهد در صورتی که تعداد معادلات کمتر از تعداد متغیر است. سپس ما قطعا می توان گفت که، و یا سیستم ناسازگار است (به عنوان مثال، هیچ ریشه)، و یا تعدادی از تصمیمات آن سمت بی نهایت. اگر ما مورد دوم - برای نوشتن راه حل کلی از سیستم معادلات خطی لازم است. آن را حداقل یک متغیر باشد.

نتیجه

در اینجا ما به پایان رسیده است. به طور خلاصه: ما باید به درک ماتریس سیستم، به دست به پیدا کردن راه حل کلی یک سیستم معادلات خطی. علاوه بر این ما از گزینه های دیگر در نظر گرفته. ما نمیفهمد چگونه به حل سیستم معادلات خطی: حذف گاوسی و قاعده کرامر. ما در مورد موارد دشوار و راه های دیگر پیدا کردن راه حل صحبت کردیم.

در واقع، این موضوع است بسیار گسترده تر، و اگر شما می خواهید آن را بهتر درک کنند، ما به شما توصیه می به عنوان خوانده شده بیشتر از ادبیات تخصصی.