احتمال شرطی و چگونه آن را محاسبه صحیح چیست؟

اغلب در زندگی ما با این واقعیت است که شما نیاز به ارزیابی احتمال وقوع هر رویداد مواجه شده است. باید یک بلیط قرعه کشی من خرید یا نه، چه خواهد بود کف فرزند سوم در خانواده، یا فردا ابری به باران دوباره - از جمله نمونه های بی شماری هستند. در ساده ترین حالت، تعداد نتایج مطلوب تقسیم بر تعداد کل حوادث. اگر بلیط قرعه کشی برنده 10، و در مجموع از 50، شانس گرفتن یک جایزه به 10/50 = 0.2 برابر، یعنی 20 برابر 100. اما چه باید بکنید در صورتی که چندین رویداد وجود دارد، و آنها از نزدیک به یکدیگر مرتبط. در این مورد، ما علاقه مند هستند در آسان نیست، و احتمال شرطی. چه نوع از ارزش و چگونه می توان آن را محاسبه - آن را فقط در این نوشتار نمیگنجد.

مفهوم

احتمال شرطی - وقوع شانس یک رویداد خاص، به شرطی که رویداد دیگر مرتبط با آن در حال حاضر اتفاق افتاده است. یک مثال ساده از پرتاب یک سکه در نظر بگیرید. زمانی که قرعه کشی وجود ندارد، پس از آن شانس افتان و یا دم همان خواهد شد. اما اگر سکه پنج بار در یک ردیف به آغوش بالا رفت و انتظار می رود به توافق 6، 7، و به خصوص تکرار 10 از چنین نتیجه باید غیر منطقی باشد. با هر از دست دادن زمان تکرار یک عقاب، شانس دم در حال رشد، و دیر یا زود آن را هنوز هم سقوط خواهد کرد.

فرمول احتمال شرطی

اجازه دهید ما در حال حاضر با این مقدار محاسبه شده است رسیدگی کند. ما با B نشان دهنده رویداد اول و دوم از طریق A. اگر شانس وقوع در غیر صفر، سپس آن را عادلانه به معادله زیر است:

P (A | B) = P (AB) / P (B)، در جایی که:

• P (A | B) - در مجموع از احتمال شرطی؛
• P (AB) - احتمال همکاری وقوع حوادث A و B،
• P (B) - احتمال B. رویداد

کمی تبدیل به دست آوردن نسبت P (AB) = P (A | B) P * (B). و اگر ما اعمال می شود از روش استقراء، ممکن است به استنباط فرمول محصول و استفاده از آن برای یک تعداد دلخواه از حوادث:

P (A _1، A _2، A _3، ... و _N) = P (A ₁ | ₂ و ... _N) * P (A ₂ | ₃ و ... _N) * P ₍₃ | _{4 نفر} از ... ) ... P _(N-1 | _N A) * P _{(n) است.}

عمل

برای اینکه آن را آسان تر برای مقابله با توجه به شرایط مشروط محاسبه احتمال یک رویداد، در نظر گرفتن چند نمونه. فرض کنید یک کاسه که در آن 8 7 شکلات و نعناع وجود دارد. آنها همان در اندازه و به طور تصادفی متوالی از جیبش دو نفر از آنها هستند. شانس است که هر دو از آنها خواهد بود شکلات چیست؟ ما در بر نماد معرفی. و اجازه دهید که نتیجه این معنی است که برای اولین بار از آب نبات شکلات، در مجموع در - شکلات دوم شیرین. سپس ما در بر داشت زیر:

P (A) = P (B) = 8/15

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2،

P (AB) = 8/15 * 1/2 = 4/15 ≈ 0،27

مورد دیگر در نظر بگیرید. فرض کنید شما یک خانواده دو فرزند، و ما می دانیم که حداقل یک فرزند دختر است. احتمال شرطی است که پسران در این پدر و مادر است؟ همانطور که در مورد قبلی، اجازه دهید با برخی از نماد شروع می شود. اجازه دهید P (B) - احتمال این که یک خانواده حداقل یک دختر، P (A | B) - احتمال این که فرزند دوم نیز یک دختر، F (AB) - شانس است که یک خانواده از دو دختر. در حال حاضر ما به محاسبات. می تواند 4 ترکیب های مختلف از کودکان پسر و دختر وجود دارد و در همان زمان تنها در یک مورد (زمانی که خانواده دو پسر)، دختران نمی خواهد در میان کودکان است. بنابراین، احتمال P (B) = 3/4 و P (AB) = 1/4. سپس زیر فرمول ما، ما را دریافت کنید:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

تفسیر در نتیجه می تواند این: اگر ما در مورد میدان ب از یکی از بچه ها حال شناخته شده نیست، شانس دو دختر می شود 25 برابر 100. اما از آنجا که ما می دانیم که یک کودک یک دختر، احتمال این که هیچ پسران در خانواده، در حال رشد به یک است سوم.